"연 평균 +10% 수익률" 이라고 광고하는 펀드를 1억 원에 가입했는데, 10년 뒤 잔고가 2.5억 원이 아니라 1.9억 원에 머무는 일이 흔합니다. 펀드사가 거짓말을 한 것이 아닙니다. 산술평균은 "예측 가능성" 을 나타내고, 기하평균은 "실제 통장에 남은 결과" 를 나타냅니다. 둘은 다른 질문에 대한 답이며, 변동성이 클수록 격차가 벌어집니다. 본 글은 그 수학적 원리와 실무에서의 사용 구분을 정리합니다.
매년 수익률이 r₁, r₂, ..., rₙ 으로 나왔다고 합시다. 두 평균의 정의는 다음과 같습니다.
산술평균은 "각 해 수익률의 단순 산술 합 ÷ 햇수" 입니다. 기하평균은 "전 기간 누적 잔고의 변화를 균등하게 펼친 연환산 수익률" 입니다. 후자는 CAGR (Compound Annual Growth Rate) 과 동일한 개념입니다.
가장 단순한 예: 2년간 +50% → −50% 수익률을 봅시다.
산술평균은 "평균적으로 0% 수익이니 본전" 이라 말하지만, 실제 잔고는 −25% 입니다. 1억 원이 7,500만 원으로 줄어들었습니다.
손실은 같은 % 의 수익보다 회복이 어렵습니다. −50% 손실을 만회하려면 +100% 수익이 필요합니다 (절반이 두 배가 되어야 원래대로). 변동성이 만드는 이 비대칭성이 기하평균을 산술평균보다 항상 낮게 만듭니다.
두 평균의 차이는 변동성의 함수입니다. 수익률의 표준편차를 σ 라 할 때, 두 평균의 관계는 근사적으로 다음과 같습니다.
이 공식이 의미하는 바:
이것이 "변동성 끌림(Volatility Drag)" 입니다. 같은 산술평균 수익률이어도 변동성이 큰 자산일수록 실제 잔고는 덜 늘어납니다.
두 가상의 펀드가 모두 산술평균 연 10% 라고 보고합니다. 잔고는 어떻게 다를까요?
| 연도 | 안정형 (저변동) | 고위험형 (고변동) |
|---|---|---|
| 1 | +10% | +50% |
| 2 | +10% | −30% |
| 3 | +10% | +50% |
| 4 | +10% | −30% |
| 5 | +10% | +50% |
| 산술평균 | 10% | 10% |
| 5년 누적 잔고 (1억 시작) | 1.61억 | 1.29억 |
| 기하평균 (CAGR) | 10% | 5.2% |
같은 산술평균 10% 인데 잔고는 3,200만 원 차이 (32% 격차). 고위험형의 +50%/−30% 반복이 산술평균은 같지만 누적 결과는 절반에 못 미칩니다.
금융상품 광고에서 "평균 수익률 N%" 만 표기한 경우, 거의 항상 산술평균입니다. 누적 잔고를 알고 싶다면 CAGR 또는 "누적 수익률" 표기를 찾아야 합니다. 두 값은 변동성이 클수록 더 크게 벌어집니다.
Multifolios 의 수익률 표시는 모두 "기하평균(누적)" 기반입니다.
산술평균을 별도로 표시하지 않는 이유: 사용자가 보고 싶은 것은 "내 통장이 얼마 늘었나" 이지, "평균적으로 얼마 늘었어야 했나" 가 아니기 때문입니다. 자산추이 차트의 슬라이더를 끌어보면 그 시점까지의 실제 누적 결과가 시점별로 갱신됩니다.
"평균 수익률 N%" 는 미래 예측의 점추정 (산술평균)이고, "내 잔고가 N% 늘었다" 는 과거 결과의 실측 (기하평균)이다. 변동성이 클수록 둘은 멀어지며, 그 격차는 σ²/2 만큼이다.